El trabajo mecnico realizado por una fuerza F a travs de una trayectoria C, puede ser desarrollado por una integral de lnea que se expresa como integral doble de un rea mediante el teorema de Green. F(x,y,z)=4yi+zj+2 ykF(x,y,z)=4yi+zj+2 yk y C es la interseccin de la esfera x2 +y2 +z2 =4x2 +y2 +z2 =4 con el plano z=0,z=0, y utilizando el vector normal que est hacia afuera. dv Problema n 1 Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x + y, z 1. Primero debemos calcular la parametrizacin de la superfcie. C alculo de areas 15 5. z Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS.SrizoF.dS. Explicar el significado del teorema de Stokes. $$$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$$, Calculamos 10. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. Supongamos que la superficie S es una regin plana en el plano xy con orientacin hacia arriba. Corte la superficie en trozos pequeos. Primero desarrollamos la integral de lnea por sobre la trayectoria C, para lo cual se ha sectorizado la trayectoria en 2 tramos que van primeramente desde a hasta b y luego de b hasta a. Para qu valor(es) de a (si lo[s] hay) tiene S(F).ndSS(F).ndS su valor mximo? Despus de que ocurra toda esta cancelacin sobre todos los cuadrados de aproximacin, las nicas integrales de lnea que sobreviven son las integrales de lnea sobre los lados que aproximan el borde de S. Por lo tanto, la suma de todos los flujos (que, segn el teorema de Green, es la suma de todas las integrales de lnea alrededor de los bordes de los cuadrados de aproximacin) puede ser aproximada por una integral de lnea sobre el borde de S. En el lmite, como las reas de los cuadrados de aproximacin van a cero, esta aproximacin se acerca arbitrariamente al flujo. b) (0.75 puntos) Directamente (considera la orientacin apropiada para . Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(12 y2 dx+zdy+xdz),C(12 y2 dx+zdy+xdz), donde C es la curva de interseccin del plano x+z=1x+z=1 y el elipsoide x2 +2 y2 +z2 =1,x2 +2 y2 +z2 =1, orientado en el sentido de las agujas del reloj desde el origen. Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo. Esta ecuacin relaciona el rizo de un campo vectorial con la circulacin. 1999-2023, Rice University. Si queremos calcular la integral aplicando el teorema de Stokes, la trayectoria debe ser cerrada. Los vectores tangentes son tx=1,0,gxtx=1,0,gx y ty=0,1,gy,ty=0,1,gy, y por lo tanto, txty=gx,gy,1.txty=gx,gy,1. Una es la espiral, definida por estas dos ecuaciones en el dominio. F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk;F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk; S es una porcin del paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 y est por encima del plano xy. Teorema de Green 7 1. y Supongamos que S es una superficie lisa, orientada y a trozos con un borde que es una curva simple cerrada C con orientacin positiva (Figura 6.79). y 3 Para visualizar la curvatura en un punto, imagine que coloca una pequea rueda de paletas en ese punto del campo vectorial. Bajo que condiciones una curva plana C definida por una fu cerrada? TEOREMA DE GREEN UNA REGIN PLANA 7.8. Verificar que el teorema de Stokes es verdadero para el campo vectorial F(x, y) = z, x, 0 y la superficie S, donde S est el hemisferio, orientado hacia afuera, con parametrizacin r(, ) = sincos, sinsin, cos , 0 , 0 como se muestra en la Figura 16.7.5. F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k;F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k; S es la porcin del primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1. Cul es la longitud de C en trminos de ?? (x,y): 2y 6x2 +y2 64y Usando el teorema de Green y un cambio de variable a coordenadas polares, tenemos que: . En ella se exploran apartados bastante determinantes en la aplicacin del clculo en la fsica, como el concepto funciones de potencial, las funciones de Green y las aplicaciones de su teorema auto titulado. Antecedentes El teorema de Green El flujo en tres dimensiones El rotacional en tres dimensiones Dado que el rea del disco es r2 ,r2 , esta ecuacin dice que podemos ver el rizo (en el lmite) como la circulacin por unidad de superficie. Si los valores de DrDr es lo suficientemente pequeo, entonces (rizoF)(P)(rizoF)(P0)(rizoF)(P)(rizoF)(P0) para todos los puntos P en DrDr porque el rizo es continuo. Frmula de Green en un anillo Aplicando el Teorema de Stokes a otra supercie plana, deduciremos una nueva versin de la frmula de Green, que tambin podra obtenerse por otros procedimientos, pero nos interesa ilustrar el uso del Teorema de Stokes. 2009, Multivariable Calculus. Como el teorema de Green se aplica a curvas orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj, esto significa que tendremos que tomar el negativo de nuestra respuesta final. La cantidad (rizoF)(P0).N(P0)(rizoF)(P0).N(P0) es constante y, por lo tanto, y la aproximacin se acerca arbitrariamente a medida que el radio se reduce a cero. En el segundo trmino vemos el teorema de Green desarrollado, donde se observa la integral doble definida en la regin R de la diferencia de las derivadas parciales de g y f, con respecto a x e y respectivamente. Supongamos que S es la superficie del paralelogramo. Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos: div F = y + 2y = 3y Evaluaremos la integral de volumen de esta funcin escalar tomando el dominio como una regin de tipo 3; esto es, una regin encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz. 3 dada por (,) = cos,sen,0 (r 66R . x Utilice el teorema de Stokes para evaluar SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F(x,y,z)=exycoszi+x2 zj+xyk,F(x,y,z)=exycoszi+x2 zj+xyk, y S es la mitad de la esfera x=1y2 z2 ,x=1y2 z2 , orientado hacia el eje x positivo. Anlogamente, supongamos que S y S son superficies con el mismo borde y la misma orientacin, y supongamos que G es un campo vectorial tridimensional que puede escribirse como el rizo de otro campo vectorial F (de modo que F es como un "campo potencial" de G). Adems, el teorema tiene aplicaciones en mecnica de fluidos y electromagnetismo. Estos deben ser lo suficientemente pequeas como para que se puedan aproximar a un cuadrado. Ahora considera la regin entre las grficas de estas funciones. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. Se presentan ejercicios resueltos, algunos son originales, otros se han tomado de guas redactadas por profeso-res o preparadores del Departamento de Matemticas, tambin hay ejercicios tomados de exmenes de MA-2113. ejercicios resueltos por medio del teorema de Green, definicin y como aplicar el teorema. Para demostrar el teorema de Green de una manera sencilla, esta tarea se desglosar en 2 partes. Compruebe que el teorema de Stokes es cierto para el campo vectorial F(x,y,z)=y,2 z,x2 F(x,y,z)=y,2 z,x2 y la superficie S, donde S es el paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 . El flujo (t)=D(t)B(t).dS(t)=D(t)B(t).dS crea un campo elctrico E(t)E(t) que s funciona. Calcule la integral de lnea de F sobre C utilizando el teorema de Stokes. F Administrador blog Aplican Compartida 2019 tambin recopila imgenes relacionadas con ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia se detalla a continuacin. George Green formaliz su carrera estudiantil a los 40 aos, siendo hasta el momento un matemtico completamente autodidacta. $$$=\lbrace\mbox{Pasando a coordenadas polares } (|J|=r)\rbrace=$$$ El campo de velocidad v=0,1x2 ,0,v=0,1x2 ,0, por |x|1y|z|1,|x|1y|z|1, representa un flujo horizontal en la direccin y. Calcule el rizo de v en una rotacin en el sentido de las agujas del reloj. F(x,y,z)=zi+2 xj+3yk;F(x,y,z)=zi+2 xj+3yk; S es el hemisferio superior z=9x2 y2 .z=9x2 y2 . En el siguiente ejercicio se muestra cmo transformar una integral de lnea en una integral doble respecto a una regin R. Y debe ser evaluada en la regin triangular que une los puntos ( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ) denotada por C. Para este caso se considerar el sentido positivo del giro. Veamos: El rea de una regin D viene dada por . En el contexto de los campos elctricos, el alambre puede estar en movimiento en el tiempo, por lo que escribimos C(t)C(t) para representar el alambre. = En primer lugar, veremos una demostracin informal del teorema. Recordemos que si C es una curva cerrada y F es un campo vectorial definido en C, entonces la circulacin de F alrededor de C es integral de lnea CF.dr.CF.dr. Consideramos dos casos: el caso en que C abarca el origen y el caso en que C no abarca el origen.. Caso 1: C no abarca el origen Verificacin del teorema de Stokes para una semiesfera en un campo vectorial. Recordemos que si F es un campo vectorial bidimensional conservativo definido en un dominio simplemente conectado, ff es una funcin potencial para F, y C es una curva en el dominio de F, entonces CF.drCF.dr solo depende de los puntos finales de C. Por lo tanto, si C es cualquier otra curva con el mismo punto inicial y final que C (es decir, C tiene la misma orientacin que C), entonces CF.dr=CF.dr.CF.dr=CF.dr. (02 ,0r3). Ahora basta suponer que la funcin vectorial F est definida nicamente para g(x,y)j. Donde al operar de manera homologa al caso anterior, se obtiene: Para finalizar, se toman las 2 demostraciones y se unen en el caso donde la funcin vectorial toma valores para ambos versores. Teorema. Aqu hay una explicacin ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia podemos compartir. El teorema de Stokes tiene una extensin natural al espacio R3, conocido con el nombre de Teorema de Stokes. Supongamos que C denota el borde de S y supongamos que C denota el borde de D. Entonces, D es la "sombra" de S en el plano y C es la "sombra" de C. Supongamos que S est orientado hacia arriba. En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Stokes para evaluar S(rizoF.N)dSS(rizoF.N)dS para los campos vectoriales y la superficie. Observe que S es la porcin de el grfico de z=1xyz=1xy por (x,y)(x,y) variando sobre la regin rectangular con vrtices (0,0),(0,0), (0,1),(0,1), (2 ,0),(2 ,0), y (2 ,1)(2 ,1) en el plano xy. Esto significa que hay que resolver la siguiente integral: Por qu esto es ms sencillo? que es igual a SrizoF.dS.SrizoF.dS. Supongamos que la superficie est orientada hacia el exterior y z0z0. F) bkdA (10.5) que establece que la integral de l nea de la componente tangencial de! Desarrolle las generalidades del teorema de Green de forma completa y especifique . Ciencia, Educacin, Cultura y Estilo de Vida. Tras estudiar en la universidad de Cambridge continuo sus investigaciones, realizando aportes en materia de acstica, ptica e hidrodinmica que siguen vigentes en la actualidad. 2 Anlogamente, con nuestra ecuacin D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS,D(t)Bt.dS=D(t)rizoE.dS, no podemos concluir simplemente que rizoE=BtrizoE=Bt solo porque sus integrales son iguales. Echa un vistazo a la integral doble del teorema de Green: Esto significa que nuestra integral solo estaba calculando el rea de, Ahora imagina que no conociramos el rea de. eoremaT de Stokes El teorema de Stokes relaciona la integral de lnea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple 32R , con la integral sobre una super cie de la cual es la frontera. Supongamos que C es el semicrculo y el segmento de lnea que limitan el tope de S en el plano z=4z=4 con orientacin contraria a las agujas del reloj. Si ests detrs de un filtro de pginas web, por favor asegrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estn desbloqueados. Las funciones implicadas deben estar denotadas como campos vectoriales y definidas dentro de la trayectoria C. Por ejemplo una expresin de integral de lnea puede ser muy complicada de resolver; sin embargo al implementar el teorema de Green, las integrales dobles se vuelven bastante bsicas. Otra cosa que hay que observar es que la integral doble final no fue exactamente. Evale una integral de superficie sobre una superficie ms conveniente para hallar el valor de A. Evale A mediante una integral de lnea. de travs de teorema de la divergencia teorema de gauss DismissTry Ask an Expert Ask an Expert Sign inRegister Sign inRegister Home Veamos: El rea de una regin D viene dada por = D A 1dA . Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde F=z,x,yF=z,x,y y S es la superficie, como se muestra en la siguiente figura. Calcule la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y F=z,2 xy,x+y.F=z,2 xy,x+y. Desea citar, compartir o modificar este libro? 44-45 16.8 Teorema de Stokes [1097] 1-7, 9,19,20. El teorema de Stokes Esta es la versin tridimensional del teorema de Green, que relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con una integral de lnea alrededor de la frontera de esa superficie. [T] Utilice un CAS para evaluar Srizo (F).dS,Srizo (F).dS, donde F(x,y,z)=2 zi+3xj+5ykF(x,y,z)=2 zi+3xj+5yk y S es la superficie parametrizada por r(r,)=rcosi+rsenj+(4r2 )kr(r,)=rcosi+rsenj+(4r2 )k (02 ,0r3). Por lo tanto. , Antes de exponer las dos formas de la ley de Faraday, necesitamos algo de terminologa de fondo. Para ver este efecto de forma ms concreta, imagine que coloca una pequea rueda de paletas en el punto P0P0 (Figura 6.86). Comencemos con el teorema de Gauss. x Supongamos que F es un cuadrado de aproximacin con una orientacin heredada de S y con un lado derecho ElEl (por lo que F est a la izquierda de E). 2022 OpenStax. El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del ms general teorema de Stokes. Vemos una explicacin intuitiva de la verdad del teorema y luego vemos su demostracin en el caso especial de que la superficie S es una porcin de un grfico de una funcin, y S, el borde de S y F son todos bastante mansos. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de lnea C(zdx+xdy+ydz),C(zdx+xdy+ydz), donde C es un tringulo con los vrtices (3, 0, 0), (0, 0, 2) y (0, 6, 0) recorridos en el orden dado. 1. Clculo diferencial e integral - Mariano Soler Dorda 1997-01 . stokes y gauss ejercicios - Prctica 4 Teorema de la divergencia, Teorema de Stoke y Campos conser - Studocu ejercicios de stokes y gauss prctica teorema de la divergencia, teorema de stoke campos conser vativos. y $$$\int_S rot(F)dS=\int_S rot(F(\sigma(x,y)))dS=$$$ . De 2 Con respecto a C2, el vector de posicin del segmento BO se expresa porr (t) = (0, ( 2/2) t, ( 2/2) t), donde 0 t 2/2. El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a travs de la superficie S conociendo solo la informacin sobre los valores de F a lo largo del borde de S. A la inversa, podemos calcular la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo del borde de la superficie S traduciendo a una integral doble del rizo de F sobre S. Supongamos que S es una superficie lisa orientada con el vector normal unitario N. Adems, supongamos que el borde de S es una curva simple cerrada C. La orientacin de S induce la orientacin positiva de C si, al caminar en la direccin positiva alrededor de C con la cabeza apuntando en la direccin de N, la superficie est siempre a su izquierda. Ejercicios 3 - Teorema de Green. y Estrategias instruccionales: Conferencias en donde se presentan: los conceptos y mtodos fundamentales del clculo, la estructura matemtica del clculo, ejemplos, ejercicios y la solucin de problemas. $$\sigma(x,y)=\Big(x,y,\dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)$$, como $$z\leq2$$, tenemos que $$x^2+y^2 \leq 4$$, $$(x,y)$$ toman valores dentro de un crculo de radio $$2$$. Para determinar si el teorema de Green simplificar una integral de lnea, hazte las siguientes dos preguntas: Adems, considera si la regin comprendida por la curva. La demostracin completa del teorema de Stokes est fuera del alcance de este texto. (0,2 ). Figura 1. Una consecuencia de la ley de Faraday es que el rizo del campo elctrico correspondiente a un campo magntico constante es siempre cero. Recomendamos utilizar una Teorema de Green: Demuestra la relacin existente entre la integral de lnea alrededor de una curva C, y la integral doble sobre una regin plana D. Nabla (): Operador diferencial. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea CF.dr,CF.dr, donde F=z,x,yF=z,x,y y C est orientado en el sentido de las agujas del reloj y es el borde de un tringulo con vrtices (0,0,1),(3,0,2),(0,0,1),(3,0,2), y (0,1,2 ). Se sabe que una trayectoria cerrada C determinada en el plano 2 x+2 y+z=12 x+2 y+z=1 se proyecta sobre el crculo unitario x2 +y2 =1x2 +y2 =1 en el plano xy. 7.6. "Las matemticas no son un deporte de espectador" - George Polya. C:r(t)=coscost,sent,sencost,C:r(t)=coscost,sent,sencost, para 0t2 ,0t2 , donde 02 02 es un ngulo fijo. z Ambas integrales son iguales a 12 ,12 , por lo que 01xdx=01f(x)dx.01xdx=01f(x)dx. Sin embargo, esta es la forma de flujo del teorema de Green, que nos muestra que este teorema es un caso especial del teorema de Stokes. As entonces, la segunda forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombre de Teorema de Stokes en el plano, luego de (10.1), (10.2) y (10.4) es: I C! y El teorema de Stokes relaciona la integral de flujo sobre la superficie con una integral de lnea alrededor del borde de la superficie. Por la Ecuacin 6.19. donde las derivadas parciales se evalan todas en (x,y,g(x,y)),(x,y,g(x,y)), haciendo que el integrando dependa solo de x y y. Supongamos que x(t),y(t),atbx(t),y(t),atb es una parametrizacin de C.C. estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. Por lo que: As pues, I = D (2(x + y) 2y) dxdy, donde D es el interior del triangulo dado. No existe una manera nica de definir los lmites de integracin al aplicar el teorema de Green. Una superficie complicada en un campo vectorial. CAPITULO V. EJERCICIOS DESARROLLADOS DEL TEOREMA DE GREEN Y STOKES TEOREMA DE GREEN. Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. Verifica el teorema de green para el campo vectorial F y la regin "D" que se indica. Access Free Problemas De Geometria Analitica Resueltos Trillion Dollar Coach Elementos de Clculo Diferencial : Historia Y Ejercicios Resueltos El Libro espaol Catlogo selectivo de libros para universitarios Bibliografa venezolana Boletn del deposito legal de obras impresas The Math Book Gua-catlogo de la Feria Nacional del Libro Para ver por qu el smbolo de la integral no se cancela en general, considere las dos integrales de una sola variable 01xdx01xdx y 01f(x)dx,01f(x)dx, donde. TEOREMA de STOKES Explicacion y EJERCICIOS Ingeniosos 12.2K subscribers Subscribe 1.6K 68K views 2 years ago APRENDE a utilizar el TEOREMA de STOKES para RESOLVER INTEGRALES de. La integral de lnea de un campo vectorial. El teorema de Green se presenta comnmente como: Esto tambin es parecido a como suelen verse los problemas de prctica y las preguntas de examen. As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases. El teorema de Green (artculos) Aprende El teorema de Green Ejemplos del teorema de Green El teorema de la divergencia en dos dimensiones Aprende Construir un vector unitario normal a una curva El teorema de la divergencia en dos dimensiones Aclaracin conceptual para el teorema de la divergencia en dos dimensiones Practica Por lo tanto, podemos dejar que el rea D(t)D(t) se reduzca a cero tomando un lmite y se obtiene la forma diferencial de la ley de Faraday: En el contexto de los campos elctricos, el rizo del campo elctrico puede interpretarse como el negativo de la tasa de cambio del campo magntico correspondiente con respecto al tiempo. Donde $$Tx = (1,0, x), Ty = (0,1, y)$$, y por lo tanto, $$T_x \times T_y = (-x, - y, 1)$$. Anexo Tema 3-Clculo Lmites. 1. Calcule la integral de lnea CF.dr,CF.dr, donde F=xy,x2 +y2 +z2 ,yzF=xy,x2 +y2 +z2 ,yz y C es el borde del paralelogramo con vrtices (0,0,1),(0,1,0),(2 ,0,1),(0,0,1),(0,1,0),(2 ,0,1), y (2 ,1,2). Teorema de Stokes Sea S una superfcie del espacio y C su frontera (o lmites), y sea F: S R 3 R 3 una funcin diferenciable en S, entonces C F d L = S r o t ( F) d S Este teorema nos puede resolver problemas de integracin cuando la curva en la que tenemos que integrar es complicada. k es nula, pues en virtud del teorema de Green, I Gk P dx+Q dy = ZZ Rk Q x P y dx dy =0: Por tanto, Z C1 f da = Z C2 f db: Esto completa la prueba. El teorema de Stokes nos asegura que: , lo cual en s no implica una simplificacin demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de lnea. 2 Podemos confirmar rpidamente este teorema para otro caso importante: cuando el campo vectorial F es conservativo. , Con esta definicin, podemos enunciar el teorema de Stokes. Supongamos que S es la superficie que queda para y0,y0, incluyendo la superficie plana en el plano xz. Por lo tanto, los mtodos que hemos aprendido en las secciones anteriores no son tiles para este problema. z INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. z La forma diferencial de la ley de Faraday establece que, Utilizando el teorema de Stokes, podemos demostrar que la forma diferencial de la ley de Faraday es una consecuencia de la forma integral. Utilizar el teorema de Stokes y supongamos que C es el borde de la superficie z=x2 +y2 z=x2 +y2 con la 0x2 0x2 y 0y1,0y1, orientado con una normal que apunta hacia arriba. En los siguientes ejercicios de aplicacin, el objetivo es evaluar A=S(F).ndS,A=S(F).ndS, donde F=xz,xz,xyF=xz,xz,xy y S es la mitad superior del elipsoide x2 +y2 +8z2 =1,dondez0.x2 +y2 +8z2 =1,dondez0. 8. SOLUCIN Clculo como integral de lnea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Ver desarrollo y solucin Ver teora La teora de matemticas en tu mvil Descrgatela gratis 3 3 Si F es conservativo, el rizo de F es cero, por lo que SrizoF.dS=0,SrizoF.dS=0, Dado que el borde de S es una curva cerrada, CF.drCF.dr tambin es cero. Podemos producir corriente a lo largo del alambre cambiando el campo B(t)B(t) (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). 2 cos t + a 2 4 sen t cos t ] dt = a 2 8 (a + 4). Teorema de Stokes 19 1. Defina. En general, supongamos que S1S1 y S2 S2 son superficies lisas con el mismo borde C y la misma orientacin. Aplicacin del teorema de Stokes. TEOREMA DE STOKES. Los momentos de inercia de muchos cuerpos sometidos a fuerzas externas en diferentes puntos de aplicacin, tambin responden a integrales de lnea desarrollables con el teorema de Green. Supongamos que F(x,y,z)=P,Q,RF(x,y,z)=P,Q,R es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas. Teorema 11.1 (de Green) Sea Cuna curva cerrada simple regular a tro-zos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea Dla union de la region interior a Ccon la propia curva C. Sea F= (P,Q) : D R2 un campo vectorial de clase C1. y por lo tanto se verifica el teorema de Stokes. Estos son el teorema de Kelvin-Stokes y el teorema de divergencia o de Gauss Ostrogradski. Supongamos que F=2 z+y,2 x+z,2 y+x.F=2 z+y,2 x+z,2 y+x. En otras palabras, el lado derecho de FF es la misma curva que el lado izquierdo de E, solo que orientada en la direccin opuesta. Calculamos ahora con lo que sabemos de Anlisis Vectorial, Como el teorema de Green se aplica a curvas orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj, esto significa que tendremos que tomar el negativo de nuestra respuesta final. Por otro lado, la curva $$C$$ es la circunferencia a altura $$z=2$$, de radio $$2$$, como se puede observar en el dibujo, y su parametrizacin ser Puedes calcular el rea de una regin con la siguiente integral de lnea alrededor de su frontera orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj: El teorema de Green es bonito y toda la cosa, pero aqu vas a aprender acerca de cmo se usa en realidad.